A Dirichlet problem for the Laplace operator in a domain with a small hole close to the boundary

https://doi.org/10.1016/j.matpur.2018.01.004Get rights and content
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Abstract

We study the Dirichlet problem in a domain with a small hole close to the boundary. To do so, for each pair ε=(ε1,ε2) of positive parameters, we consider a perforated domain Ωε obtained by making a small hole of size ε1ε2 in an open regular subset Ω of Rn at distance ε1 from the boundary ∂Ω. As ε10, the perforation shrinks to a point and, at the same time, approaches the boundary. When ε(0,0), the size of the hole shrinks at a faster rate than its approach to the boundary. We denote by uε the solution of a Dirichlet problem for the Laplace equation in Ωε. For a space dimension n3, we show that the function mapping ε to uε has a real analytic continuation in a neighborhood of (0,0). By contrast, for n=2 we consider two different regimes: ε tends to (0,0), and ε1 tends to 0 with ε2 fixed. When ε(0,0), the solution uε has a logarithmic behavior; when only ε10 and ε2 is fixed, the asymptotic behavior of the solution can be described in terms of real analytic functions of ε1. We also show that for n=2, the energy integral and the total flux on the exterior boundary have different limiting values in the two regimes. We prove these results by using functional analysis methods in conjunction with certain special layer potentials.

Résumé

Nous étudions le problème de Dirichlet dans un domaine avec une petite inclusion proche du bord. Pour cela, pour chaque paire ε=(ε1,ε2) de paramètres positifs, nous considérons un domaine perforé Ωε obtenu en faisant une petite inclusion de taille ε1ε2 dans un ouvert régulier Ω de Rn à distance ε1 du bord ∂Ω. Quand ε10, l'inclusion se rétracte en un point et, en même temps, se rapproche du bord. Quand ε(0,0), l'inclusion se rétracte plus vite qu'elle n'approche du bord. Notons uε la solution du problème de Dirichlet pour l'équation de Laplace sur Ωε. En dimension n3, nous montrons que la fonction qui à ε associe uε a un prolongement analytique réel dans un voisinage de (0,0). A contrario, lorsque n=2 nous considérons deux régimes : ε tend vers (0,0), et ε1 tend vers 0 avec ε2 fixé. Quand ε(0,0), la solution uε a un comportement logarithmique ; Quand seul ε10 et ε2 est fixé, le comportement asymptotique de la solution peut se décrire à l'aide de fonctions réelles analytiques en ε1. Nous montrons aussi que pour n=2, l'énergie intégrale et le flux total sur le bord extérieur ont des valeurs limites différentes selon les deux régimes. Nous prouvons ces résultats en utilisant des méthodes d'analyse fonctionnelle ainsi que des potentiels de couche adaptés.

MSC

35J25
31B10
45A05
35B25
35C20

Keywords

Dirichlet problem
Singularly perturbed perforated domain
Laplace operator
Real analytic continuation in Banach space
Asymptotic expansion

Cited by (0)